Operador unitari

En anàlisi funcional, un operador unitari és un operador lineal U : H → H en un espai de Hilbert que satisfà:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

on U^∗ és l'operador adjunt d'U, i I : H → H és l'operador identitat. És equivalent al següent:

1. El rang d'U és un conjunt dens, i
2. U conserva el producte escalar 〈 ,  〉 a l'espai de Hilbert, açò és per a vectors qualssevol x i y a l'espai de Hilbert,

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .}$

Per comprendre això cal tenir en compte que el fet que U conserve el producte escalar implica que U és una isometria. El fet que U tinga un rang dens assegura que tingui invers U⁻¹. És clar que U⁻¹ = U^∗.

A més, els operadors unitaris són automorfismes de l'espai de Hilbert, això és, preserven la seva estructura (en aquest cas, l'estructura lineal de l'espai, el producte escalar i per tant la topologia de l'espai en el qual actuen. El grup de tots els operadors unitaris d'un espai de Hilbert donat H s'anomena grup de Hilbert d'H, denotat Hilb(H).

La condició U^∗U = I defineix la isometria. Una altra condició UU^∗ = I defineix la coisometria.^[1] Així, un operador unitari és un operador lineal delimitat que és alhora una isometria i una coisometria, o equivalentment, una isometria injectiva.^[2]

Un element unitari és una generalització d'un operador unitari. En una àlgebra unitària, un element U de l'àlgebra es denomina unitari si: ${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$ on I és l'element identitat.^[3]